Перейти к содержанию

Relation gap problem

19 октября 2026 · пост · Роман Михайлов · MAA — САП · открыть текст

Тема: Математика · как говорит: Лекция и объяснение

Михайлов объявляет контрпример к проблеме дыры соотношений (relation gap), поставленной Грюнбергом 50 лет назад: для копредставления модуль соотношений цикличен, но группа не задаётся одним соотношением; пример вдохновлён решением OpenAI D(2)-проблемы Уолла, а доказательство элементарно и занимает одну страницу.

Содержание

  • Контрпример: вдохновение от решения OpenAI D(2)-проблемы и одностраничное доказательство

Что говорит Михайлов

★ — насколько это важно для источника.

  • ★★ Проблема дыры соотношений (relation gap), по словам Михайлова, культовая; её поставил Грюнберг 50 лет назад. · Дыры соотношений, Карл Грюнберг
  • ★★ Проблема дыры соотношений спрашивает: для свободной группы F конечного ранга и нормальной подгруппы R совпадает ли наименьшее число нормальных порождающих R с рангом модуля соотношений R/[R,R] как Z[F/R]-модуля? · Дыры соотношений, Свободная группа, Модуль соотношений
  • ★★ Особенно интересен был циклический случай проблемы дыры соотношений: если модуль соотношений цикличен, верно ли, что R — нормальное замыкание одного элемента? · Дыры соотношений, Модуль соотношений
  • ★★ Многие задачи открыты десятилетиями просто потому, что о них никто не знает или никто их не решает; проблему дыры соотношений решали многие: по ней защищали диссертации, ей посвящены главы в книгах, она связана с другими открытыми задачами. · Дыры соотношений
  • ★ Проблема дыры соотношений входит в список проблем Уолла, а в «зелёной книге» по двумерной топологии есть обзор Харландера по ней. · Дыры соотношений
  • ★★ Пример к проблеме дыры соотношений вдохновлён решением OpenAI D(2)-проблемы Уолла, но напрямую из него не следует: OpenAI использует сложное препятствие, игру с накрытиями и хитрые, переплетённые аргументы, в которых ещё предстоит разобраться. · OpenAI, Дыры соотношений
  • ★★ Полученный пример не требует никаких ИИ-аргументов: только элементарные выкладки и стандартные факты теории групп с одним соотношением.
  • ★★★ Михайлов сообщает о контрпримере к самой ценной версии проблемы дыры соотношений, а значит и ко всей проблеме; записывается он очень просто. · Дыры соотношений
  • ★★★ Контрпример к проблеме дыры соотношений: у группы с копредставлением модуль соотношений цикличен, но её нельзя задать одним соотношением. · Модуль соотношений, Дыры соотношений
  • ★★ Доказательство контрпримера к проблеме дыры соотношений умещается на одной странице, элементарно, обходится без ИИ-аргументов и может быть проверено любым. · Дыры соотношений
  • ★★ Тот же пример, по словам Михайлова, решает ещё несколько открытых проблем.
  • ★ Михайлов считает, что это ещё не конец: группа из контрпримера к проблеме дыры соотношений решит ещё много чего. (с оговоркой) · Дыры соотношений
  • ★ Михайлов прикладывает к посту ссылку на arXiv. · Дыры соотношений

Сюжеты и позиции

Упоминания

Главное: Дыры соотношений · Модуль соотношений

Также: D(2)-проблема Уолла · OpenAI · Группы с одним соотношением · Свободная группа

Только в описании или титрах: Йенс Харландер · Карл Грюнберг · Чарльз Уолл

← Предыдущая: Исправленная спектралка с группами до 135-й · Следующая → «Правильно лишь то, что вас качает»: Роман Михайлов об ученых, религии и научрейве